Słyszałeś może o liczbach Fibonacciego i złotej proporcji? Być może wiesz, że konstruując różne rzeczy można dopatrzeć się złotej liczby praktycznie wszędzie. Chciałbym pokazać Ci jak za pomocą dużej ilości oporników o tym samym oporze oraz prostego miernika, możesz zobaczyć ją na własne oczy lutując podstawowe elementy elektroniczne.
Zaczniemy od najprostszej rzeczy, czyli jednego opornika. Oznaczmy jego opór jako \(R_1 = R\).
Podłączając miernik do jednego opornika spodziewamy się, że odczytamy wartość \(R_{Z_0} = R\).
Po dokonaniu pierwszego pomiaru spróbujmy skonstruować "drabinkę" przez dodanie następnych dwóch oporników o oporach \(R_2=R_3=R\).
Spróbujmy policzyć opór zastępczy takiego układu. Możemy policzyć opór zastępczy oporników \(R_1\) i \(R_2\) połączonych szeregowo: $$ R_{12} = R_1 + R_2 = 2R $$ Ten opór jest połączony równolegle z opornikiem \(R_3\): $$ \frac{1}{R_{Z_1}} = \frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{2R} $$ Odrawacając ułamki dostajemy: $$ R_{Z_1} = \frac{2}{3} R $$
To dopiero początek naszej zabawy, spróbujmy dorysować kolejny szczebel naszej drabinki.
By uprościć trochę nasze obliczenia, zauważmy, że opór zastępczy jednej części naszego układu już obliczyliśmy. Oznaczyliśmy wcześniej opór zastępczy części składającej się z oporników \(R_1, R_2, R_3\) jako \(R_{Z_1}\) i możemy użyć go w dalszych obliczeniach.
Połączmy teraz \(R_{Z_1}\) szeregowo z \(R_4\) i równolegle z \(R_5\): $$ R_{Z_2} = \frac{1}{\frac{1}{R_{Z_1}+R_4}+\frac{1}{R_5}} = \frac{1}{\frac{1}{\frac{2}{3} R + R}+\frac{1}{R}} = \frac{1}{\frac{3}{5 R}+\frac{1}{R}} = \frac{1}{\frac{8}{5 R}} $$ $$ R_{Z_2} = \frac{5}{8} R $$ Zauważmy, że dokładając kolejne szczeble naszej drabinki, będziemy powtarzać identyczne obliczenia. By je jeszcze bardziej uprościć, dodatkowo oznaczmy przez \(p_n\) i \(q_n\) licznik i mianownik współczynnika obok \(R\) liczby \(R_{Z_n}\): $$ \frac{p_n}{q_n} R = R_{Z_n}$$ Wtedy: $$ R_{Z_{n+1}} = \frac{1}{\frac{1}{R_{Z_n}+R}+\frac{1}{R}} = \frac{1}{\frac{1}{\frac{p_n}{q_n}R+R}+\frac{1}{R}} = \frac{1}{\frac{1}{\frac{p_n+q_n}{q_n} R}+\frac{1}{R}} $$ $$ R_{Z_{n+1}} = \frac{1}{\frac{q_n}{(p_n+q_n) R}+\frac{1}{R}} = \frac{1}{\frac{q_n+p_n+q_n}{(p_n+q_n) R}} = \frac{p_n+q_n}{p_n+2q_n} R \tag{♡}\label{♡} $$ Teraz możemy łatwo wyliczyć: $$ R_{Z_3} = \frac{p_2+q_2}{p_2+2q_2} R = \frac{5+8}{5+2\cdot8} R = \frac{13}{21} R $$ Ale zatrzymajmy się na chwilę...
Czy liczby \(\{p_1,q_1,p_2,q_2,...\} = \{1,1,2,3,5,8,13,21,...\}\) tworzą ciąg Fibonacciego?
Gdyby tak było to moglibyśmy jednoznacznie wyliczyć \(p_{n+1}\) i \(q_{n+1}\) za pomocą \(p_n\) i \(q_n\): $$ \begin{cases} p_{n+1} = p_n + q_n \\ q_{n+1} = q_n + p_{n+1} = q_n + p_n + q_n = p_n + 2q_n \end{cases} $$ Gdyby udało nam się udowodnić coś takiego... ale przecież to dokładnie wynika z \(\eqref{♡}\)!
Wniosek: liczniki i mianowniki stosunków oporów zastępczych drabinek o zwiększającej się ilości szczebli do oporu pojedynczego opornika tworzą ciąg Fibonacciego.
Wiedząc o tym, że stosunek kolejnych liczb Fibonacciego dąży do złotej liczby, możemy powiedzieć, że opór zastępczy drabinki o ilości szczebli dążącej do nieskończoności wynosi: $$ \lim_{n\to\infty} R_{Z_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{p_n}{q_n}R = \frac{1}{\phi}R = (\phi - 1)R = \Phi R $$ $$ \lim_{n\to\infty} R_{Z_n} = R \cdot 0.61803... $$